����� ���� (����� �������� ������������)

����� ������� �������� �� ���� �������������� ��������� ���������� ��� ���������� ���������� ����������� $ x_{i+1}$ ������ ���������� � ������� � ����� ���� ����� $ x_i$; ��� ���� ����� �� ������������ ���������� �������� $ x_{i-1}, x_{i-2},\dots\;.$ ������ ��� ���������� ���������� ����� ����� ������������ ��� ���������� $ x_{i+1}$. � �������� ������� ������ ������ �� ������� �����, ���������� �� ���������� $ x_{i+1}$ �� ���� ���������� ������������ $ x_i$$ x_{i-1}$ � ������� �������� ������������, ���������� ������� ����.

���� ������ ������� � ���, ��� �� ���� ������ $ M_{i-1}(x_{i-1};f(x_{i-1}))$$ M_i(x_i;f(x_i))$ ��������� ������ $ M_{i-1}M_i$ (�� ���� �����, ����������� ��� ����� ������� $ y=f(x)$) � ����� � �������� ���������� ����������� $ x_{i+1}$ �������� ����� ����������� ���� ������ � ���� $ Ox$. ����� �������, ���������� �������� �� ���� ���� ������� $ f(x)$�������� �������������, ��������� �� ���� ��������� $ x$: $ x_{i-1}$$ x_i$. (�������� ������������� ������� $ f(x)$ ������ ����� �������� ������� $ \ell(x)$, �������� ������� ��������� �� ���������� $ f(x)$ � ���� ������������� ������, � ������ ������ -- � ������ $ x_{i-1}$$ x_i$.)

� ����������� �� ����, ����� �� ����� $ x_{i-1}$$ x_i$ �� ������ ������� �� ����� $ x^*$ ��� �� �� ���� � �� �� �������, �������� ����� �������:

���.9.14.���������� ����������������� ����������� �� ������ ����: ��� ������


����, ��������� ���������������� ����������� ����� �������� �� ���� ����������: $ x_{i+1}={\varphi}(x_{i-1};x_i)$. ����� ��������� ��� ������� $ {\varphi}$.

���������������� �������� ������� $ \ell(x)$ ����� ������ ��� ������� � ������� �������������, ������ ����������� ���������

$\displaystyle k_i=\dfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}},$

������������ ��� ������� ����� $ x_{i-1}$$ x_i$, ������ ������� �������� ����� ����� $ M_i$:

$\displaystyle \ell(x)=f(x_i)+\dfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}(x-x_i).$

����� ��������� $ \ell(x)=0$, �������

$\displaystyle x_{i+1}=\dfrac{x_{i-1}f(x_i)-x_if(x_{i-1})}{f(x_i)-f(x_{i-1})}=
x_i-\dfrac{f(x_i)}{\dfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}},$

�� ����

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{f(x_i)}{k_i}.$ (9.3)

�������, ��� �������� $ k_i$ ����� ��������������� ��� ���������� ����������� ��� ����������� $ f'(x)$ � ����� $ x_i$. ��� ����� ���������� ������� (9.3) -- ��� ���������� ������ ������������ ������� ������ �������.

���������� �� ������� (9.3) ������� ���������������� ���������� �� ������ ���������� ���� �������

$\displaystyle x_{i+1}=\dfrac{x_{i-1}f(x_i)-x_if(x_{i-1})}{f(x_i)-f(x_{i-1})},$

���� ��� ��� ������� ������������� ������������, ��������� ��� ������������� ������� (9.3) � ������ ���������� � ������������ (��������, �� ����������) ����������� ������� ������ �������� ����.

������� ��� ������������� ���������� ������� (9.3).

������ �������������: ���������� ������� ��������������� �� ������� (9.3) ��� $ i=1,2,3,\dots$, ������� � ���� ����������� $ x_0$$ x_1$, ������, �� �����������, ������� � ����� $ x^*$. ��� ���� �� ��������������, ��� $ x^*$ ����� ����� $ x_0$$ x_1$ (� ��� �������� ������� $ f$ � ������ $ x_0$$ x_1$ ����� ������ �����). ��� ���� �� �������������, ��� ������ ������ �� ������� ����� $ x_{i-1}$$ x_i$ �� �����-���� ��������� ���� (���� ��� � �� ���������). � ����� ������ �������������� ���� ������ �����������, � ������� $ x_{i+1}$ ���������� �������� �������� ����� $ x^*$, � ������� �������������� ����� ������������ ��������: ���������� ����������, ����� ����� ��������� ����������� $ \vert x_{i+1}-x_i\vert<{\varepsilon}$, ��� $ {\varepsilon}$ -- �������� �������� ���������� �����. ��� ���� �������� ����������� �������� ����� ������ $ \wt x=x_{i+1}$.

        ������ 9.8   ����� ��������� $ x^3+2x^2+3x+5=0$ ������� ����. ��������� ��������� $ {\varepsilon}=0.000001$ � ������ � �������� ��������� ����������� $ x_0$$ x_1$ ����� �������, �� ������� ������ ������: $ x_0=-2,x_1=-1$. ������������ ������� ������ ���� ��� $ f(x)=x^3+2x^2+3x+5$ ����� ���

$\displaystyle x_{i+1}=x_i-\dfrac{f(x_i)}{\dfrac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}...
...dfrac{(x_i^3+2x_i^2+3x_i+5)-(x_{i-1}^3+2x_{i-1}^2+3x_{i-1}+5)}
 {x_i-x_{i-1}}}.$    

�� ���� ������� ��������������� ��������:

\begin{multline*}
x_2=-1.75;x_3=-1.905660;
x_4=-1.840182;
x_5=-1.843603;\\
x_6=-1.843735;
x_7=-1.843734;
x_8=-1.843734.
\end{multline*}

������� ����������� ��� ���� ��� �������� ����� � ������ ���������; ������� �������� ������������ ��� ����, ����� ���������: � �������� ��������� �������� ��������� ����������. ��������, ��� $ \wt x=-1.843734$.     

        ���������� 9.3   ��������� ���������� ��� �� �������, ���������� ������� ��������� ����������� $ x_0$$ x_1$, �� ���� ���� $ x_0=-1, x_1=-2$. ���������, ��� ���������� ������ �������� ��� $ x_3,x_4,\dots$ � ��� � ��������� $ {\varepsilon}$ ��� $ x_6$ ��������� �������� �����.     

        ������ 9.9   ��������, ��� ����� �������� � � ��� ������, ���� $ x_0$$ x_1$ ����� �� ���� � �� �� ������� �� ����� (�� ���� ���� ������ �� ������ �� ������� ����� ���������� �������������). ������ �� ��� ���� �� ��������� $ x_0=-1.5$$ x_1=-1$. �����

\begin{multline*}
x_2=-2.090909;
x_3=-1.700772;
x_4=-1.823138;
x_5=-1.845616;\\
x_6=-1.843711;
x_7=-1.843734;
x_8=-1.843734.
\end{multline*}

�� �������� �� �� �������� $ \wt x$, ������ �� �� �� ����� ��������. ����� ����������, ��� ���� �� �������� ����������� ��������� ����������� �����, ��� ����� $ x_1$ ���� ����� � �����, ��� $ x_0$. ������ ��� ���� �������� ���������� �� �� �������� ����������, ����� �������� ���� ��������� ���������:

\begin{multline*}
x_2=-2.090909;
x_3=-1.791404;
x_4=-1.836390;
x_5=-1.843972;\\
x_6=-1.843733;
x_7=-1.843734;
x_8=-1.843734.
\end{multline*}

������������ �� �� �� ���� ����������.     

������ ������������� ���������� ������� (9.3) ���������� ������� ������� ���������. �����������, ��� ������ $ x^*$ ������ �� ������� ����� $ x_0$$ x_1$, �� ���� �������� $ f(x_0)$$ f(x_1)$ -- ������ ������. ����� ���������� $ x_{i+1}$ �� ������� (9.3) �� ���������, $ i$-�, ����� �� ���� ��������: ����� $ x_{i-1}$$ x_{i+1}$ � ����� $ x_i$$ x_{i+1}$ -- �������� ���, � ������ �������� ������� $ f$ ��������� �������� ������ ������. ���� ��� ������� ����� $ x_{i-1}$$ x_{i+1}$, �� ���������� ������������� ���������� �����������, �� ���� �������� $ x_i$ ������ $ x_{i-1}$, � ����� ��������� ���������� �� ������� (9.3). ���� �����������, ��� ��� ����� $ i$ ������ $ x^*$ ������������� �� ������� ����� $ x_i$$ x_{i+1}$, ��� ��� ��� ���������� ������� $ \vert x_{i+1}-x_i\vert<2{\varepsilon}$, ��� $ {\varepsilon}$ -- �������� �������� ���������� �����, ���������� ����� ���������� � ����� ����������� �������� ����� ������ $ \wt x=x_{i+1}$. ��� ���� �������������, ��� ����� ��������� ����������� $ \vert\wt x-x^*\vert<{\varepsilon}$, �� ���� ������ ����� �������� � ������ ���������.

����� ���������� ��������� �� ���, �� ����� ����, �������-������ ��������� ������������. ��������������� ��� �� �������.

        ������ 9.10   � �������� ������� 9.8 �������� ����� ������� ���������. ����� ���������������� ����������� ����� ������:

\begin{multline*}
x_2=-1.75;
x_3=-1.835052;
x_4=-1.842950;
x_5=-1.843664;\\
x_6=-1.843728;
x_7=-1.843734;
x_8=-1.843734.
\end{multline*}

��� �� �����, ���������� �� ���������� � ������� 9.8 ������ ����������� $ x_3,x_4,x_5,x_6$. (�������, ��� ���� �� � ������� 9.8 �� ����� $ x_0=-1, x_1=-2$, ��. ���������� 9.3, �� �������� ������� �� �������� $ x_3$.)