Метод простых итераций во всех рассмотреннных вариантах использует для
построения очередного приближения только информацию о функции в одной лишь точке
; при этом никак не используются предыдущие
значения
Однако
эту предыдущую информацию также можно использовать при нахождении
. В качестве примера такого метода мы
приведём метод, основанный на нахождении
по двум предыдущим приближениям
и
с помощью
линейной интерполяции, называемый методом хорд.
Идея метода состоит в том, что по двум точкам и
построить
прямую
(то есть
хорду, соединяющую две точки графика
) и взять в качестве следующего приближения
абсциссу точки пересечения этой прямой с
осью
. Иными словами, приближённо заменить на
этом шаге функцию
её линейной интерполяцией, найденной по двум значениям
:
и
. (Линейной интерполяцией
функции
назовём
такую линейную функцию
, значения
которой совпадают со значениями
в двух
фиксированных точках, в данном случае -- в точках
и
.)
В зависимости от того, лежат ли точки и
по разные
стороны от корня
или же по
одну и ту же сторону, получаем такие чертежи:
Итак, очередное последовательное приближение будет зависеть от двух
предыдущих: . Найдём
выражение для функции
.
Интерполяционную линейную функцию будем искать как функцию с угловым коэффициентом, равным
разностному отношению
Заметим, что величина может
рассматриваться как разностное приближение для производной
в точке
. Тем самым
полученная формула (9.3) -- это разностный аналог итерационной формулы метода
Ньютона.
Вычисление по формуле (9.3) гораздо предпочтительнее вычисления по другой полученной нами формуле
Имеются две разновидности применения формулы (9.3).
Первая разновидность: вычисления ведутся непосредственно по формуле (9.3) при , начиная
с двух приближений
и
, взятых, по возможности, поближе к корню
. При этом не предполагается, что
лежит между
и
(и что значения функции
в точках
и
имеют разные знаки). При этом не
гарантируется, что корень попадёт на отрезок между
и
на
каком-либо следующем шаге (хотя это и не исключено). В таком случае
затруднительно дать оценку погрешности, с которой
приближает истинное значение корня
, и поэтому довольствуются таким эмпирическим правилом:
вычисления прекращают, когда будет выполнено неравенство
, где
--
желаемая точность нахождения корня. При этом полагают приближённое значение
корня равным
.
![]() |
Седьмое приближение уже дало нам значение корня с нужной точностью; восьмая итерация понадобилась для того, чтобы убедиться: с заданной точностью значение перестало изменяться. Получаем, что
Мы получили то же значение
Понадобились всё те же семь вычислений.
Вторая разновидность применения формулы (9.3) называется методом ложного
положения. Предположим, что корень отделён на отрезке между
и
, то есть значения
и
--
разных знаков. После вычисления
по формуле
(9.3) на очередном,
-м, этапе из
двух отрезков: между
и
и между
и
--
выбирают тот, в концах которого функция
принимает значения разных знаков. Если это отрезок между
и
, то
производят перенумерацию предыдущих приближений, то есть полагают
равным
, а затем повторяют вычисления по формуле (9.3). Этим достигается, что при любом
корень
располагается на отрезке между
и
, так что при выполнении условия
, где
--
желаемая точность нахождения корня, вычисления можно прекратить и взять
приближённое значение корня равным
. При этом
гарантируется, что будет выполнено неравенство
, то есть
корень будет определён с нужной точностью.
Такое усложнение алгоритма не даёт, на самом деле, сколько-нибудь заметного преимущества. Проиллюстрируем это на примере.
Как мы видим, отличаются от вычислений в примере 9.8 только приближения